线段的中点与计算 练习题（53 道真题，附答案解析）

解析：D

解析：【解答】解： A、在点 P 的运动过程中，使直线 PC⊥AB 的点 P 有两个，说法错误，只有一个；
B、若∠CBA＞90°，当点 P 从 A 出发，沿射线 AB 的方向运动时，∠CPB 不断变大，说法错误，然后变小；
C、若 AB=2AP，则点 P 是线段 AB 的中点，说法错误，P 在线段 AB 上时，AB=2AP，则点 P 是线段 AB 的中点；
D、当∠CPA=90°时，线段 CP 的长度就是点 C 到直线 AB 的距离，说法正确；
故选： D.
【解答】解： ∵2y=x+5，
∴2y － x=5，x － 2y= － 5，
∴（x － 2y）2 － 4y+2x=（x － 2y）2 － 2（2y － x）=（ － 5）2 － 2×5=15.
【解答】解： 当第 4 次着地时，经过的路程为：
100+2（50+25+…+100×2⁻³）＝100+2×100（2⁻¹+2⁻²+2⁻³）
＝100+200（1 － 2⁻³）＝275，
故选： C.

解析：【解答】解：A、AC=BC，则点 C 是线段 AB 中点；
B、AB=2AC，则点 C 是线段 AB 中点；
C、AC+BC=AB，则 C 可以是线段 AB 上任意一点；
D、BC=$\frac{1}{2}$AB，则点 C 是线段 AB 中点。

解析：解： $\because$ 点 C 是线段 AB 的中点， $AB = 20\text{cm}$，
$\therefore BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \times 20\text{cm} = 10\text{cm}$，
$\because$ 点 D 是线段 BC 的中点，
$\therefore BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \times 10\text{cm} = 5\text{cm}$，
$\therefore AD = AB - BD = 20\text{cm} - 5\text{cm} = 15\text{cm}$.
故选： D.

解析：【解答】解： 由题意知，CB=4cm，DB=7cm，所以 DC=3cm，又点 D 为 AC 的中点，所以 AD=DC=3cm，故 AB=AD+DB=10cm．故选： D.

解析：【解答】解：（1）当点 C 在线段 AB 上时，则 $MN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB=5\text{cm}$；
（2）当点 C 在线段 AB 的延长线上时，则 $MN=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=7-2=5\text{cm}$。
综合上述情况，线段 MN 的长度是 5cm。
故选：D。

解析：【解答】解：∵点 C 是线段 AB 的中点，AB＝20cm，
∴BC＝$\frac{1}{2}$AB＝$\frac{1}{2}$×20cm＝10cm，
∵点 D 是线段 BC 的中点，
∴BD＝$\frac{1}{2}$BC＝$\frac{1}{2}$×10cm＝5cm，
∴AD＝AB－BD＝20cm－5cm＝15cm．
故选：D．

解析：【解答】 解： ①当点 C 在线段 AB 的延长线上，
∵AB=10，
∴MB=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵AB=8，
∴MC=5+8=13；
②当点 C 在线段 AB 上，
∵AB=10，
∴MB=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵BC=8，
∴MC=8 - 5=3；
故选： C。

解析：【解答】 解： 如图：
∵PA+PB=AB，
∴点 P 在线段AB 上.
故选： B.

解析：【解答】 解： 因为点 C 为AB 的中点， AB 的长为 4，
所以$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$.
则线段AC 的长为 2.
故选： B.

解析：【解答】 解： A、$AC=BC$，则点 C 是线段AB 中点；
B、$AB=2AC$，则点 C 是线段AB 中点；
C、$AC+BC=AB$，则 C 可以是线段AB 上任意一点；
D、$BC=\frac{1}{2}AB$，则点 C 是线段AB 中点.
故选： C.

解析：【解答】解：∵线段AB=8cm，AC=6cm，
∴如图1，当A，B，C在一条直线上，
∴BC=AB-AC=8-6=2（cm），故①正确；
如图2，当A，B，C在一条直线上，
∴BC=AB+AC=8+6=14（cm），故②正确；
如图3，当A，B，C不在一条直线上，
8-6＜BC＜8+6，
故线段BC可能为5或9，故③错误，④正确．
故选：C．

解析：【解答】 解： ①如图，当 C在 BA 延长线上时，
∵AB=10cm，AC=16cm，D，E 分别是AB，AC 的中点，
∴AD=(1/2)AB=5cm，AE=(1/2)AC=8cm，
∴DE=AE+AD=8+5=13cm；
②如图，当 C在AB 延长线上时，
∵AB=10cm，AC=16cm，D，E 分别是AB，AC 的中点，
∴AD=(1/2)AB=5cm，AE=(1/2)AC=8cm，
∴DE=AE - AD=8 - 5=3cm；
故选： D.

解析：【解答】 解： ∵AC=4，AD=7，
∴CD=7 - 4=3，
∵D 是线段 CB 的中点，
∴BD=3，
∴AB=AD+BD=7+3=10．
故答案为： 10．

解析：【解答】 解： ∵点$D$是$AC$的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AC$，
∵点 $E$是$AB$ 的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AB$，
∴$DE=AE - AD=\frac{1}{2}(AB - AC)$ ，
∵$AB=10$，$BC=3$，
∴$AC=7$，
∴$DE=\frac{1}{2}(AB - AC)=\frac{1}{2}×(10 - 7)=1.5$，
故答案为： 1.5.

解析：【解答】解：当点 B 在线段 AC 的延长线上时，
由点 M、N 分别是 AC、BC 的中点，得：
MC=1/2AC=1/2×12=6cm，CN=1/2BC=1/2×8=4cm，
由线段的和差，得 MN=MC+CN=6+4=10cm；
当点 B 在线段 AC 上时，
由点 M、N 分别是 AC、BC 的中点，得：
MC=1/2AC=1/2×12=6cm，CN=1/2BC=1/2×8=4cm，
由线段的和差，得 MN=MC - CN=6 - 4=2cm；
故答案为：10cm 或 2cm.

解析：【解答】 解： ∵数轴上A表示5，B表示－7，
∴线段AB长为： $5 - (-7) = 12$，
∵$12÷2=6$，
∴－7+6＝－1，
∴AB 中点表示的数是－1.
故答案为： 12，－1.

解析：【解答】解：因为 ∠C=90°，
所以 AC⊥BC，
所以 A 到 BC 的距离是 AC，
因为线段 AC=6cm，
所以点 A 到 BC 的距离为 6cm.
故答案为：6。

解析：【解答】 解： 如图 1，
当点 C在点 B 右侧时，
∵点 D 是线段AB 的中点， 点 E 是线段 BC 的中点，
∴DB=$\frac{1}{2}$AB，BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=DB+BE=$\frac{1}{2}$（AB+BC）=6；
如图 2，
当点 C在点 B 左侧时，
∵点 D 是线段AB 的中点， 点 E 是线段 BC 的中点，
∴DB=$\frac{1}{2}$AB，BE=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=DB - BE=$\frac{1}{2}$（AB - BC）=3；
则线段 DE 的长为 6 或 3cm.
故答案为 6 或 3.

解析：【解答】解：∵AC=4，AD=7，
∴CD=7-4=3，
∵D是线段CB的中点，
∴BD=3，
∴AB=AD+BD=7+3=10．
故答案为：10．

解析：【解答】 解： ①在点 P 处将绳子剪断，根据题意可知：PB=P′ B=4，AP=A′ P′ =2，∴AP+A′ P′ +BP+BP′ = 12，所以绳子的原长为 12cm；②在点 Q 处将绳子剪断，根据题意可知：BQ=BQ′ =4，AQ=A′ Q′ =8，∴AQ+QB+BQ′ +Q′ A′ =24，所以绳子的原长为 24cm，故答案为 12 或 24。

解析：题干缺少关键信息：点 P、A、C、O、B 的初始坐标（或相对位置关系），仅凭图中示意无法确定具体数值。但根据常见题型设定（如 O 为原点，A 在正半轴，C 在负半轴，且常设 OA=4, OC=6 等），假设标准配置：设 O 为原点，A 表示 4，C 表示 -6，P 为定点 B（常见设为 2）；则 t 秒后：Q 位置 = 4 - 3t，R 位置 = -6 - 2t，P 位置 = 2；PR = |2 - (-6 - 2t)| = |8 + 2t|，PQ = |2 - (4 - 3t)| = |-2 + 3t|；令 |8 + 2t| = |3t - 2|，解得 t = 2 或 t = -10（舍去负值），故 t = 2。注：此答案基于典型默认坐标设定，若实际图中坐标不同，结果会变；因图中无刻度数值，conf 较低。

解析：【解答】解：（1）MN=MC+NC=MN=½AC+½BC=½(AC+BC)=½×(12+8)=10；
（2）MN=MC+NC=½AC+½BC=½(AC+BC)=½a；
规律：线段上任意一点把线段分成两部分的中点之间的距离等于原线段长度的一半；
（3）已知：如图所示，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC=α，∠BOC=β，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数；结果：∠DOE=½(α+β)；
（4）分二种情况：
如果在线段AB上，MN=MC+NC=½AC+½BC=½(AC+BC)=½×(12+8)=10；
如果在线段AB的延长线上，MN=MC−NC=½AC−½BC=½(AC−BC)=½×(12−8)=2.

解析：（1）这个几何体的主视图、左视图、俯视图，如图所示；
（2）（4+3+5）×2+2=26，
故答案为：26；
（3）这个几何体的左视图和俯视图不变，在俯视图上，标上该位置放小立方体的个数，（+后面的数是可以增加的数）
[俯视图表格：第一行 1+1, 1+1, 2；第二行 1, , 1]
因此最多可以增加 2 个，
故答案为 2.

解析：解：设 BD=x.（1）如图①
∵点 D 为 BC 的中点，
∴CD=BD=x，BC=2x.
∵AB=4，∴AC=4+2x.
∵CA+CB+CD=9，∴(4+2x)+2x+x=9.
∴x=1，即 BD=1.
（2）如图②
∵AB=4，∴AC=4−2x.
∵CA+CB+CD=9，∴(4−2x)+2x+x=9.
∴x=5.
∵x<2，∴点 C 不可能在线段 AB 上.

解析：【解答】解：（1）图中的线段有：AB、AD、AE、AC、BD、BE、BC、DE、DC、EC；
故答案为10；

（2）∵AB=6，BC=2AB，
∴BC=12，
∴AC=AB+BC=6+12=18，
∵D为AC中点，
∴CD=1/2AC=9，
∵E为BC中点，
∴CE=1/2BC=6，
∴DE=CD-CE=9-6=3.

解析：【解答】 解：（1）∵正方形ABCD 中，AB=2cm，
∴CD=AB=BC =AD=2cm，
∵M 是CD 的中点，
∴MC =1cm，
∵点 P 从M 点出发，以1cm/秒的速度沿折线MC - CB 匀速运动，
∴点P 运动到点C，t=1，点P 运动到点B，t=3，
故答案为1；3；
（2）设△ADP 的面积为ycm²，点P 运动时间为t 秒，
当P 在MC 上时，y=1/2 AD•DP=1/2×2×(1+t)=t+1（0≤t<1）；
当P 在BC 上时，y=1/2 AD•DC=1/2×2×2=2（1≤t≤3）.
综上，y={t+1 (0≤t<1), 2 (1≤t≤3)}.

解析：【解答】解：（1）∵AC=6cm，点M是AC的中点，
∴MC=1/2AC=3cm，
∴BC=MB-MC=10-3=7cm.
（2）∵N是BC的中点，
∴CN=1/2BC=3.5cm，
∴MN=MC+CN=3+3.5=6.5cm.
（3）如图，
MN=MC-NC=1/2AC-1/2BC=1/2（AC-BC）=1/2b.
MN=b/2.

解析：28．【解答】 解：（1）当 t=1 时，AM=1cm，CN=2cm，
∴MC=AC - AM=6 - 1=5（cm），
∴MN=MC+CN=5+2=7（cm）；
（2）由题意，得： AM=t cm，MC=（6 - t）cm，
∵点 M 运动到点 C 时，点 M、N 都停止运动，
∴0≤t≤6，
①当 0≤t≤2 时，点 N 从 C 向 B 运动，CN=2t cm，
∵点 C 为线段 MN 的中点，
∴MC =CN，即 6 - t=2t，
解得： t=2；
②当 2＜t≤4 时，点 N 从 B 向 C 运动，BN=（2t - 4）cm，CN=4 - （2t - 4）=（8 - 2t）cm，
∵点 C 为线段 MN 的中点，
∴MC =CN，即 6 - t=8 - 2t，
解得： t=2（舍去）；
③当 4＜t≤6 时，点 N 从 C 向 B 运动，CN=（2t - 8）cm，
∵点 C 为线段 MN 的中点，
∴MC =CN，即 6 - t=2t - 8，
解得： t=14/3；
综上所述，当 t=2 或 t=14/3 时，点 C 为线段 MN 的中点.
（3）如图 2，①当 0≤t≤2 时，点 N 从 C 向 B 运动，CN=2t cm，
∵点 P 是线段 CN 的中点，
∴CP=1/2 CN=t cm，
∴PM=MC+CP=6 - t+t=6cm，此时，PM 的长度保持不变；
②当 2＜t＜4 时，点 N 从 B 向 C 运动，CN=（8 - 2t）cm，
∵点 P 是线段 CN 的中点，
∴CP=1/2 CN=1/2（8 - 2t）=（4 - t）cm，
∴PM=MC+CP=6 - t+（4 - t）=（10 - 2t）cm，此时，PM 的长度变化；
③当 4≤t≤6 时，点 N 从 C 向 B 运动，CN=（2t - 8）cm，
∵点 P 是线段 CN 的中点，
∴CP=1/2 CN=1/2（2t - 8）=（t - 4）cm，
∴PM=MC+CP=6 - t+（t - 4）=2cm，此时，PM 的长度保持不变；
综上所述，当 0≤t≤2 或 4≤t≤6 时，使 PM 的长度保持不变； PM 的长度分别为 6cm 或 2cm.

解析：26．解：
由点O是线段AC的中点，得
OC=½AC=½×18=9
由线段的和差，得OB=OC-BC=9-6=3.

解析：23.【解答】解：（1）由题意可得，图中A→C可以记为（+3，+4），B→C可以记为（+2，0），
故答案为：+3，+4；+2，0；
（2）由图可知，由D→A可以记为（-4，-2），
故答案为：A；
（3）由图可知，这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，该甲虫走过的路程长度为：1+4+2+1+2=10，
故答案为：10；

解析：26.【解答】解：（1）∵MB=2cm，NC=1.8cm，
∴MB+NC=3.8，
∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AB=2BM，CD=2CN，
∴AB+CD=2BM+2CN=2（BM+CN）=7.6，
∴AD=AB+CD+BC=7.6+5=12.6（cm），
故答案为：12.6；
（2）∵MN=10cm，BC=6cm，
∴BM+CN=MN-BC=10-6=4，
∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AB=2BM，CD=2CN，
∴AB+CD=2BM+2CN=2（BM+CN）=8，
∴AD=AB+CD+BC=8+6=14（cm），
故答案为：14；
（3）∵MN=a，BC=b，
∴BM+CN=a-b，
∵M，N分别是AB，CD的中点，
∴AB=2BM，CD=2CN，
∴AB+CD=2BM+2CN=2（BM+CN），
∴AB+CD=2（a-b），
∵AD=AB+CD+BC，
∴AD=2（a-b）+b=2a-2b+b=2a-b.

解析：（2）小明摸到数字5后； 剩余的8个数字中有4个偶数； 分别是2、4、6、8；有4个奇数； 分别是1、3、7、9；所以 D（小明获胜）=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$； D（小芳获胜）=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$；

解析：19.【解答】解：（1）1 - （-5）=6，
6÷2 - 1=3 - 1=2，
因D点在0点的左侧所以用负数表示，是-2.
答：D点对应的数是-2.
（2）5 - 2=3
因C点在0点的右侧，所以用正数表示是+5.
答：C点对应的数是+5.

解析：21.【解答】解：（1）∵OM平分∠AOC，
∴∠COM=\frac{1}{2}∠AOC，
同理∠CON=\frac{1}{2}∠BOC，
∵∠MON=∠COM+∠CON，
∴∠MON=\frac{1}{2}∠AOC+\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×110°=55°；
（2）∵OM平分∠AOC，
∴∠COM=\frac{1}{2}∠AOC，
同理可得：∠DON=\frac{1}{2}∠BOD，
∴∠MON=∠COM+∠DON+∠COD，
=\frac{1}{2}∠AOC+\frac{1}{2}∠BOD+∠COD，
=\frac{1}{2}（∠AOC+∠BOD）+∠COD，
=\frac{1}{2}（∠AOB - ∠COD）+∠COD，
=\frac{1}{2}（∠AOB+∠COD），
∵∠AOB=100°，∠COD=20°，
∴∠MON=\frac{1}{2}（100°+20°）=60°，
（3）由（2）得：∠MON=\frac{1}{2}（m+n）°.

解析：23.【解答】（1）运动前线段AB的长度为10 - （-6）=16；
（2）设当运动时间为x秒长时，点A和线段BC的中点重合，依题意有
-6+3t=11+t，
解得t=\frac{17}{2}
故当运动时间为\frac{17}{2}秒长时，点A和线段BC的中点重合
（3）存在，理由如下：设运动时间为y秒，
①当点A在点B的左侧时，依题意有(10+y) - (3y - 6)=2，解得y=7，
-6+3×7=15；
②当点A在线段BC上时，依题意有(3y-6) - (10+y)=\frac{2}{3}
解得y=\frac{25}{3}
-6+3×\frac{25}{3}=19
综上所述，符合条件的点A表示的数为15或19.

解析：23．【解答】解：（1）∵AD=4cm，且AD=$\frac{1}{3}$AB，
∴AB=12cm，
∵点C是线段AB的中点，
∴AC=$\frac{1}{2}\times12=6$cm，
∴CD=AC - AD=2cm；
（2）∵AD=$\frac{1}{3}$AB，
∴设AD=x，则AB=3x，
∵点C是线段AB的中点，
∴AC=$\frac{3}{2}$xcm，
∴CD=$\frac{3}{2}$x - x=3，解得x=6，
∴AB=3x=18cm。

解析：【解答】 解:（1）由折叠知，表示数 - 1 的点与表示数5 的点关于表示数2 的点对称，
∴表示数 - 2 的点与表示数6 的点关于表示数2 的点对称，
表示数7 的点与表示数 - 3 的点关于表示数2 的点对称，
故答案为： 6， - 3；

（2）∵折叠后点 A 与点B 重合，
∴点 A 和点B 关于表示数2 的点对称，
∵A，B 两点之间距离为12，
∴点 A 和点B 到表示数2 的点的距离都为(1/2)×12=6，
∴点 A 表示的数为2 - 6= - 4，点 B 表示的数为2+6=8，
∵A，C 两点之间距离为4，
∴①当点C 在点 A 左侧时，点C 表示的数为 - 4 - 4= - 8，
②当点 C 在点 A 右边时，点 C 表示的数为 - 4+4=0，
∴点 C 表示的数为 - 8 或0，
故答案为： - 4，8， - 8 或0；

（3）如图， 由（2）知，点A 表示的数为 - 4，点B 表示的数为8， 设点M 表示的数为m，
①当点M 在点 A 左侧时，m＜0，
∴(MO+BO)+(MO - AO)=2020，
∴（ - m+8）+（ - m - 4）=2020，
∴m = - 1008，
②当点M 在点B 的右侧时，m＞0，
∴(MO+BO)+MO - AO)=2020，
∴（m - 8）+（m+4）=2020，
∴m =1012，
即点M 表示的数为 1012 或 - 1008.

解析：【解答】解：（1）1-（-5）=6，
6÷2-1=3-1=2，
因D点在0点的左侧所以用负数表示，是-2.
答：D点对应的数是-2.

（2）5-2=3
因C点在0点的右侧，所以用正数表示是+5.
答：C点对应的数是+5.

解析：【解答】解：（1）如图所示；
（2）S△ABC=3×3 - ½×3×1 - ½×2×2 - ½×3×1=4.

解析：【解答】解：∵AC=5，BC=3，∴AB=5+3=8，∴BD=1/4 AB=2，∴CD=3+2=5.

解析：【解答】解：（1）AB=3+3π；
（2）∵点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合，
∴BC=πAC，AD=πBD，
∴设AC=x，BD=y，则BC=πx，AD=πy，
∵AB=AC+BC=AD+BD，
∴x+πx=y+πy，
∴x=y
∴AC=BD=3，
∴CD=AB - AC - BD=3+3π - 3 - 3=3π - 3；
（3）BE的长为3π×π=3π²；或BE的长为3π÷π=3.
故答案为：3+3π；3π - 3.

解析：【解答】解：如图所示：
（1）射线AC，线段BC即为所求作的图形；
（2）线段AB及延长线，点D以及线段CD即为所求作的图形；
（3）点E以及线段BE即为所求作的图形．

解析：【解答】解：（1）①∵M 为线段 AB 的中点，点M 与原点 O 重合，∴a 与 b 的关系为：a+b=0；
②∵M 为线段 AB 的中点，∴点M 表示的有理数m 的值：(a+b)/2；
（2）①∵a+b=c+d，a<b，c<d，∴点D 的位置的如下图2 所示；
②由图2 可得，a<c<d<b.

解析：设AD = x，则AC = (1/3)x，CD = AD - AC = x - (1/3)x = (2/3)x = 4，解得x = 6。因D是AB中点，故AB = 2AD = 2×6 = 12。

解析：【解答】解：当点C在AB上时，如图：
∵AB=10cm，BC=4cm，
∴AC=AB-BC=10-4=6(cm)，
∵P为线段AC的中点，
∴PC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3(cm)，
∴BP=PC+BC=3+4=7(cm)；
当点C在AB的延长线上时，如图：
∵AB=10cm，BC=4cm，
∴AC=AB+BC=10+4=14(cm)，
∵P为线段AC的中点，
∴PC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×14=7(cm)，
∴BP=PC-BC=7-4=3(cm)；
∴BP的长为7cm或3cm

解析：【解答】解：（1）如图①中，直线OM即为所求.

（2）如图①中，直线ON即为所求，点H为垂足.

（3）S△OPQ=4×6-1/2×1×4-1/2×6×1-1/2×4×6=7.
故答为19.

（4）如图②中，
若AB不动，需要6步，
若EF不动，需要7步，
若CD不动，需要7步，
AB下移一格，EF左移两格，CD上移两格，共5步
最少需要移动5步.
故答案为5.

解析：【解答】解：（1）如图所示：AD=AB；

（2）如图所示：MN⊥AC；

（3）∵MN⊥AC，
∴∠NAC=90°，
∵∠BAC=40°，
∴∠DAN=180°-90°-40°=50°，
故答案为：50.

解析：【解答】解：（1）如图，射线AB即为所求。
（2）如图，线段BC，线段CD即为所求。
（3）如图，点E即为所求。

解析：【解答】解：（1）如图，直线m，直线n即为所求.
（2）直线m⊥直线n.