多项式 练习题（92 道真题，附答案解析）

解析：【解答】解： $\frac{-x+y}{3}$ 是多项式，$x^4 - 1$ 是四次二项式， $-\pi x^2$ 的系数为 $-\pi$，$3\pi^2 x^3 y$ 的次数为 4 次.
∴选项 B 正确.
故选： B.

解析：【解答】解： 根据题意得：（3x²+4x - 1） - （3x²+9x）＝3x²+4x - 1 - 3x² - 9x＝ - 5x - 1,
故选： A

解析：【解答】解：\frac{x²y-1}{6}=\frac{1}{6}x²y-\frac{1}{6}，是三次二项式.
故选：C

解析：【解答】解：A、分式的分子与分母中的系数 34 和 85 有公因式 17，可以约分，故 A 错误；
B、\frac{y²-x²}{x+y}=\frac{(y+x)(y-x)}{x+y}=y-x，故 B 错误；
C、分子分母没有公因式，是最简分式，故 C 正确；
D、\frac{x²-y²}{(x+y)²}=\frac{(x+y)(x-y)}{(x+y)²}=\frac{x-y}{x+y}，故 D 错误；
故选：C.

解析：4．【解答】解： x²y - y²z+z²x - x²z+y²x - 2xyz
= （y - z）x² + （z²+y² - 2yz）x + y²z - y²z
= （y - z）x² + （y - z）²x - yz（y - z）
= （y - z）[x² + （y - z）x - yz]
= （y - z）（x+y）（x - z）．
故选： A．

解析：【解答】 解：① − a 不一定是负数，故此选项错误；②多项式 −3a²b+7a²b²−2ab+1 的项数是 4，正确；③倒数等于它本身的数是±1，正确；④若|x| = −x，则 x≤0，故此选项错误；故选：B．

解析：【解答】 解：① −a 不一定是负数，故此选项错误；②多项式 −3a²b+7a²b²−2ab+1 的项数是 4，正确；③倒数等于它本身的数是±1，正确；④若|x| = −x，则 x≤0，故此选项错误；故选：B．

解析：【解答】解：在 -3，0，2x，1 - \frac{1}{2x}，\frac{3x-2y}{3}，\frac{2}{5x+4y}，a^2 - 3ab + b^2 这些代数式中，整式有 -3，0，2x，\frac{3x-2y}{3}，a^2 - 3ab + b^2 这5个
故选：D

解析：【解答】解：由图1将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为 a - b，即平行四边形的高为 a - b，
∵两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积= a^2 - b^2，乙的面积= (a+b)(a - b)
即：a^2 - b^2 = (a+b)(a - b)
所以验证成立的公式为：a^2 - b^2 = (a+b)(a - b)
故选：D

解析：【解答】解： A、3 是单项式，故本选项错误；
B、多项式 x² - 5xy - x + 1 的次数是 2 次，故本选项错误；
C、x²y 的系数是 1，故本选项错误；
D、$-\frac{1}{3}x^2y$ 的次数为 3，故本选项正确。

解析：C

解析：【解答】 解： a⁵＋a⁵＝2a⁵，A 错误；
a⁵•a²＝a⁷，B 错误；
a⁵•a⁵＝a¹⁰，C 正确；
（a⁵）⁵＝a²⁵，D 错误；
故选： C.

解析：【解答】 解： A、（a＋2）²－（a－1）²＝（a＋2＋a－1）（a＋2－a＋1）＝3（2a＋3），故此选项错误；
B、x²＋(1/4)x＋(1/4)，无法运算完全平方公式分解因式，故此选项错误；
C、x²－x－6＝（x－3）（x＋2），正确；
D、x⁴－16＝（x²＋4）（x²－4）＝（x²＋4）（x－2）（x＋2），故此选项错误．
故选： C．

解析：【解答】解： 多项式 - 5xy+xy2 - 1 是三次三项式，
故选： B.

解析：【解答】解： A、$a^2+2a+3^2$是二次三项式，故此选项错误；
B、$\frac{xy^2}{4}$的系数是$\frac{1}{4}$，故此选项错误；
C、$\frac{x-3}{2}$的常数项是－$\frac{3}{2}$，故此选项错误；
D、0是单项式，故此选项正确．
故选： D．

解析：【解答】解： A、$a^2+ab+b^2$不是完全平方式，故本选项不合题意；
B、$a^2-3a+9$不是完全平方式，故本选项不合题意；
C、$a^2-a+\frac{1}{4}=(a-\frac{1}{2})^2$，是完全平方式，故本选项符合题意；
D、$a^2+\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}$不是完全平方式，故本选项不合题意．
故选： C．

解析：【解答】 A．多项式m³n－3mn＋1 是四次三项式，此选项说法正确；
B．a 的倒数与 b 的倒数的差，用代数式表示为$\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$，此选项说法正确；
C．12ax 与 8bx 中所含字母不相同，不是同类项，故此选项错误；
D．a－b 与 b－a 互为相反数，此说法正确。
故选 C．

解析：【解答】 图形①中火柴的根数为 4=1×4=1×（2×1+2），
图形②中火柴的根数为 12=2×6=2×（2×2+2），
图形③中火柴的根数为 24=3×8=3×（2×3+2），
所以图形⑦中火柴的根数为 7×（2×7+2）=112．
故选 C．

解析：x²、1 作为两个数（或式） 的平方和的形式，加上的单项式可以是±2x，
当 x²作为两个数（或式） 的积的 2 倍、1 作为平方项，加上的单项式可以是(1/4)x⁴，

解析：【解答】 解：由图形可得：第一个矩形中阴影部分的面积 $m=\frac{1}{2}(x+y+z)b=\frac{1}{2}ab$；
第二个矩形中阴影部分的面积 $n=\frac{1}{2}(c+d)a=\frac{1}{2}ab$；
$\therefore m=n$．
故选： B.

解析：【解答】 解：∵$4\times4=16$，$(-4)\times(-4)=16$，$2\times8=16$，$(-2)\times(-8)=16$，$1\times16=16$，$(-1)\times(-16)=16$，
∴$4+4=2m$，$-4+(-4)=2m$，$2+8=2m$，$-2-8=2m$，$1+16=2m$，$-1-16=2m$，
分别解得：$m=4$，$-4$，$5$，$-5$，$8.5$（不合题意），$-8.5$（不合题意）；
∴整数m的值有4个，
故选：A.

解析：【解答】 解： 根据题意列得： $(3x^2+4x - 1) - (3x^2+9x)=3x^2+4x - 1 - 3x^2 - 9x= - 5x - 1$.
故选： A.

解析：解：（1）$\frac{xy^2}{\pi}$是单项式，故（1）错误；
（2）$\frac{x-y}{3}$是多项式， 故（2）正确；
（3）0 是单项式，故（3）错误；
（4）$\frac{1+x}{x}$不是整式， 故（4）错误；
综上可得只有（2）正确。

解析：解： $A$、$5ab^2 - 2a^2bc - 1$，它是四次多项式， 故此选项错误；
$B$、$5ab^2 - 2a^2bc - 1$，它的项数为 3，故此选项错误；
$C$、它的最高次项是 - $2a^2bc$，故此选项正确；
$D$、它的最高次项系数是 - 2，故此选项错误；
故选： C．

解析：【解答】 解： A、x·(x - y)=x² - xy，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、x²+3x - 1=x(x+3) - 1，不属于因式分解， 故本选项不符合题意；
C、(x - y)² - y²=x(x - 2y)，属于因式分解，故本选项符合题意；
D、x² - 2=x(x - 2/x)式子右边不是几个整式的积的形式，所以不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选： C.

解析：【解答】 解： A、2x² - 3xy - 1 是二次三项式， 正确， 不合题意；
B、- x+1 不是单项式， 正确，不合题意；
C、- (2/3)πxy²的系数是 - (2/3)π，正确，不合题意；
D、- 2²xab²的次数是 4，故此选项错误，符合题意.
故选： D.

解析：【解答】 解： A、（a+2）² - （a - 1）²=（a+2+a - 1）（a+2 - a+1）
=3（2a+3），故此选项错误；
B、x²+\(\frac{1}{4}\)x+\(\frac{1}{4}\)，无法运算完全平方公式分解因式， 故此选项错误；
C、x² - x - 6=（x - 3）（x+2），正确；
D、x⁴ - 16=（x²+4）（x² - 4）=（x²+4）（x - 2）（x+2），故此选项错误.
故选： C.

解析：【解答】解： ∵ $-3x^{|m|}y - (m+4)xy + 3x - 4$ 是关于 $x$、$y$ 的五次三项式，
∴$|m|+1=5$，且 $m+4=0$，
解得： $m = -4$.
故答案为： -4.

解析：【解答】解：多项式 2x² - x³y - y³+xy² 按字母 y 的降幂排列为： - y³+xy² - x³y+2x²
故答案为： - y³+xy² - x³y+2x²

解析：【解答】解：将\frac{xy²}{4(x+y)³}写成不含分母的形式：4⁻¹xy²(x+y)⁻³
故答案为：4⁻¹xy²(x+y)⁻³

解析：【解答】 解： ∵3a² - 2ab³ - 7aⁿ⁻¹b² 与 - 3²π²x³y⁵ 的次数相等，
∴n - 1+2=3+5，即 n+1=8.
∴（ - 1）ⁿ⁺¹=1.

解析：【解答】解：将多项式合并同类项得
(3 - m)x^2 + 2xy + y^2，
∵不含x^2项，
∴3 - m = 0，
∴m = 3。
故填空答案：3。

解析：5．【解答】解： 5x² - 28x+36=（5x - 18）（x - 2）
故答案为：（5x - 18）（x - 2）

解析：6．【解答】解： 原式=（13x - 17）（19x - 31 - 11x+23）=（13x - 17）（8x - 8）
∵可以分解成（ax+b）（8x+c）
∴a=13，b= - 17，c= - 8
∴a+b+c= - 12

解析：7．【解答】解： 多项式 2a² - 3a+4 最高次项 2a² 的次数为二，有三项．
故答案为： 二，三

解析：8．【解答】解： 因为多项式 x^{|m|}+（m - 2）x - 10 是二次三项式
可得： m - 2≠0，|m|=2
解得： m= - 2
故答案为： - 2

解析：10．【解答】解： 多项式 3a²b - ab+a - 2 的二次项是 - ab，故二次项系数是 - 1．
故答案为： - 1

解析：11．【解答】解： 按y 的升幂排列为：
2x³ - y³ - 4xy²+4x²y=2x³+4x²y - 4xy² - y³
故答案为： 2x³+4x²y - 4xy² - y³

解析：【解答】 解：设该多项式为 P(x)，则 P(x) + (−3x + x³ − 2x²) = x² − 1 ⇒ P(x) = x² − 1 − (−3x + x³ − 2x²) = x² − 1 + 3x − x³ + 2x² = −x³ + 3x² + 3x − 1．

解析：【解答】解：(a - 2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2
故本题答案为：a^2 - 4ab + 4b^2

解析：【解答】解：正方形的边长为 a，周长为 4a.
故答案为：4a.

解析：【解答】解：多项式 32x^3y - \frac{4}{5}y^2 + \frac{1}{3}xy - 12x^2 按照字母 x 降幂排列：
32x^3y - 12x^2 + \frac{1}{3}xy - \frac{4}{5}y^2.
故答案为：32x^3y - 12x^2 + \frac{1}{3}xy - \frac{4}{5}y^2

解析：

16．【解答】解：由题意得：每行数的个数为1，3，5，…的奇数列，最后一个数是该行数的平方， ∴第7行的最后一个数是7²， ∴表中第8行的第一个数是7²+1=50， ∴8行第8个数是57； ∵第n - 1行最后一个数为：(n - 1)²， ∴第n行第一个数可表示为：(n - 1)²+1=n² - 2n+2； 故答案为：57；n² - 2n+2。

解析：【解答】 解： ∵AB＝m²－n²，AC＝2mn，BC＝m²＋n²，
∴AB²＋AC²＝BC²，
∴△ABC 是直角三角形，
设 Rt△ABC 的三边分别为 a、b、c，
∴S₁＝c²，S₂＝b²，S₃＝a²，
∵△ABC 是直角三角形，
∴b²＋c²＝a²，即 S₁＋S₂＝S₃．
故答案为： S₁＋S₂＝S₃．

解析：【解答】 解： ∵四边形 ABCD 是矩形
∴AB＝CD＝a，AD＝BC＝b，
∵旋转
∴A′B′＝AB＝a，B′C′＝BC＝b，
∴A′C＝a－b，
∵S△AB′C＝2×(1/2)ab － (1/2)ab － (1/2)(a＋b)×(1/2)(a－b)×a
＝(1/2)a² － (1/2)b² ＋ (1/2)ab
故答案为： 1/2 a² － 1/2 b² ＋ 1/2 ab

解析：解： $\because$ 多项式 $a^2 + (2k - 6)ab + b^2 + 9$ 不含 $ab$ 的项，
$\therefore 2k - 6 = 0$，
解得 $k = 3$.
故答案为： 3.

解析：【解答】解： 按字母$x$降幂排列： $4x^3y+x^2+3xy^2-2y^3$，
故答案为： $4x^3y+x^2+3xy^2-2y^3$．

解析：【解答】解：(x²－2x＋1)＋(－x²＋5x－3)
＝x²－2x＋1－x²＋5x－3
＝3x－2．
故答案为：3x－2．

解析：b²+2ab=c²+2ac，
a²+b²+2ab=a²+c²+2ac，
(a+b)²=(a+c)²，
a+b=a+c，
b=c，
所以此三角形是等腰三角形，

解析：【解答】 解： $mx^3 - 3nxy^2 - (2x^3 - xy^2) + xy = (m - 2)x^3 + (1 - 3n)xy^2 + xy$，
∵关于 x、y 的代数式 $mx^3 - 3nxy^2 - (2x^3 - xy^2) + xy$ 中不含三次项，
∴m - 2=0，1 - 3n=0，
解得 m=2，n=$\frac{1}{3}$，
∴m - 6n=2 - 6×$\frac{1}{3}$=2 - 2=0．
故答案为： 0。

解析：【解答】 解：$\frac{3b}{3+3a}=\frac{3b}{3(a+1)}=\frac{b}{a+1}$，
$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=\frac{a^2+b^2}{(a+b)(a-b)}$，
$\frac{m^2-n^2}{m+n}=\frac{(m+n)(m-n)}{m+n}=m-n$，
$\frac{x^2+xy}{2x}=\frac{x(x+y)}{2x}=\frac{x+y}{2}$，
$\frac{a+b-c}{c-a-b}=\frac{a+b-c}{-(a+b-c)}=-1$，
所以最简分式只有1个，
故答案为：1.

解析：【解答】 解：$9a^2 - 12a+4=(3a - 2)^2$.
故答案为：$(3a - 2)^2$.

解析：【解答】 解：∵$AB=m^2-n^2$，$AC=2mn$，$BC=m^2+n^2$，
∴$AB^2+AC^2=BC^2$，
∴△ABC是直角三角形，
设Rt△ABC的三边分别为$a$、$b$、$c$，
∴$S_1=c^2$，$S_2=b^2$，$S_3=a^2$，
∵△ABC是直角三角形，
∴$b^2+c^2=a^2$，即$S_1+S_2=S_3$.
故答案为：$S_1+S_2=S_3$.

解析：【解答】 解： ①若 a+b+c=0，即 a+c= - b，则 (a+c)²=b²，正确；
②若 a+b+c=0，则x=1一定是关于x的方程 ax+b+c=0 的解，正确；
③若 a+b+c=0，且 abc≠0，则 abc 不一定大于 0，错误；
④若 a+b+c=0，即 a= - b - c，则|a|=|b+c|，正确，
故答案为： ①②④.

解析：【解答】 解：由图甲知， 单独一个方框覆盖的面积为： $a^2 - (a - 10)^2 = 20a^2 - 100$，
由图乙知， 三个方框放置后， 有 4 个边长为 5 的小正方形重叠，
故桌面被这些方框盖住部分的面积=3（20a - 100） - 4×5×5=6a - 400，
故答案为： 60a - 400.

解析：【解答】 解： 将多项式 xy³ - x²y + 2x³ - 5y² 按字母 x 降幂排列是： 2x³ - x²y + xy³ - 5y²，
故答案为： 2x³ - x²y + xy³ - 5y².

解析：【解答】解：∵f(2)=6，
∴8m+2n+5=6，
∴8m+2n=1，
∴f(-2)
=-8m-2n+5
=-(8m+2n)+5
=-1+5
=4
故答案为：4．

解析：【解答】 解： 原式=a（a² - a+1），
故答案为： a（a² - a+1）

解析：【解答】解：方法一：(x⁻² - y⁻²) ÷ (x⁻¹ - y⁻¹)
=(\frac{1}{x²} - \frac{1}{y²}) ÷ (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})
=\frac{y² - x²}{x²y²} ÷ \frac{y - x}{xy}
=\frac{(y - x)(y + x)}{x²y²} • \frac{xy}{y - x}
=\frac{x + y}{xy}
方法二：(x⁻² - y⁻²) ÷ (x⁻¹ - y⁻¹)
=(x⁻¹ - y⁻¹)(x⁻¹ + y⁻¹) ÷ (x⁻¹ - y⁻¹)
=x⁻¹ + y⁻¹
=\frac{1}{x} + \frac{1}{y}
=\frac{x + y}{xy}

解析：根据题意得：(b²+3b−1)+(2b²+b+5)=b²+3b−1+2b²+b+5=3b²+4b+4. 即原多项式是3b²+4b+4，所以(3b²+4b+4)−(2b²−b−5)=3b²+4b+4−2b²+b+5=b²+5b+9，即算出正确的结果是b²+5b+9

解析：【解答】解：原式＝（4a² － 4ab＋b²＋4ab － b²）÷2a
＝4a²÷2a
＝2a．

解析：解：原式=15x²y−5xy²+3x²y−12x²y
=3x²y−2xy²
当 x=1，y=−$\frac{1}{2}$ 时，
原式=3×1²×(−$\frac{1}{2}$)−2×1×(−$\frac{1}{2}$)²
=−2

解析：【解答】 原式＝2x²y＋2xy－3x²y＋3xy－2x²y
＝－3x²y＋5xy，
当x＝1，y＝－1 时，原式＝－3×1²×(－1)＋5×1×(－1)＝－2．
故答案为：－2．

解析：【解答】 解： 原式= $-2a^6b^3 + a^6b^3$
= $-a^6b^3$.

解析：【解答】 解： 原式=$3a^2 - 2ab + 3ab - 2b^2 - ab + b^2$
=$3a^2 - b^2$.

解析：【解答】 解： $(m-n+1)(m+n+1)$
= $(m+1)^2 - n^2$
= $m^2 + 2m + 1 - n^2$.

解析：【解答】 解： 原式=$\frac{2x}{(x+y)(x-y)} - \frac{x-y}{(x+y)(x-y)}$
=$\frac{x+y}{(x+y)(x-y)}$
=$\frac{1}{x-y}$.

解析：【解答】 解： 原式=$\frac{x-1}{3(x-2)} \div \frac{x^2 - 2x + 1}{x-2}$
=$\frac{x-1}{3(x-2)} \cdot \frac{x-2}{(x-1)^2}$
=$\frac{1}{3(x-1)}$.

解析：【解答】 解： $(x-4)(x+7)+18$
=$x^2 + 3x - 10$
=$(x-2)(x+5)$.

解析：【解答】 解： $x^2 - 4 + 4y^2 - 4xy$
=$x^2 - 4xy + 4y^2 - 4$
=$(x-2y)^2 - 4$
=$(x-2y-2)(x-2y+2)$.

解析：【解答】 解： 方程两边都乘以 $6(x-1)$，得： $3x - 6 = 2(x-1)$，
解得 $x=4$，
当 $x=4$ 时， $6(x-1)=18\neq0$，
所以原分式方程的解为 $x=4$.

解析：【解答】解：原式 = $(4a^2 - 4ab + b^2 + 4ab - b^2) \div 2a$
= $4a^2 \div 2a$
= $2a$.

解析：【解答】解：$(\frac{a^2-4}{a^2-a-6}+\frac{a+2}{a-3})\div (\frac{a+1}{a-3})=[\frac{(a+2)(a-2)}{(a+2)(a-3)}+\frac{(a+2)^2}{(a+2)(a-3)}]\times \frac{a-3}{a+1}=\frac{2a}{a+1}$.

解析：【解答】解：原式 = $(\frac{a^4}{b^{-2}}) \times (-\frac{b^2}{a}) \div a^4b^4$
= $a^4b^2 \times (-\frac{b^2}{a}) \div a^4b^4$
= $-a^3b^4 \div a^4b^4$
= $-\frac{1}{a}$.

解析：【解答】解：原式=$2[9a^2-25(a+b)^2]$
=$2[3a+5(a+b)][3a-5(a+b)]$
= $-2(8a+5b)(2a+5b)$

解析：【解答】解：原式 = $(a^2-4a)^2-8(a^2-4a)-48 = (a^2-4a+4)(a^2-4a-12) = (a-2)^2(a-6)(a+2)$.

解析：【解答】解：方程两边乘以$(x+2)(x-2)$得：$1-x(x-2)=-(x+2)(x-2)$，
解得：$x=1.5$，
检验：$x=1.5$时，$(x+2)(x-2)\neq 0$，$x=1.5$是原方程的解；
因此，原方程的解为$x=1.5$.

解析：【解答】解：原式=$\frac{5-x^2+4}{x-2}\cdot \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x-3)}$
=$\frac{(x-3)(x+3)}{x-2}\cdot \frac{x-2}{x-3}$
=$x+3$，
当$x=-2$时，原式=$-2+3=1$.

解析：【解答】解：
（1）s₂=a²+b²+c²
=(a+b+c)²−2(ab+bc+ca)
=1+4=5，
(a+b+c)³
=a³+b³+c³+3a²b+3a²c+3b²a+3b²c+3c²a+3c²b+6abc
=a³+b³+c³+3a²(b+c)+3b²(a+c)+3c²(a+b)+6abc，
∵a+b+c=1，abc=−1，
∴s₃=a³+b³+c³=4，
同理，s₄=a⁴+b⁴+c⁴=13；
故答案为5，4，13
（2）关系为sₙ=sₙ₋₁+2sₙ₋₂−sₙ₋₃
理由：
sₙ=sₙ₋₁•(a+b+c)−(aⁿ⁻¹b+aⁿ⁻¹c+abⁿ⁻¹+cbⁿ⁻¹+acⁿ⁻¹+bcⁿ⁻¹)
=sₙ₋₁•1•(a+b+c)−[sₙ₋₂•(ab+ac+bc)−abcⁿ⁻²−abⁿ⁻²c−aⁿ⁻²bc]
=sₙ₋₁•(a+b+c)−sₙ₋₂•(ab+ac+bc)+sₙ₋₃•abc，
∵a+b+c=1，ab+bc+ca=−2，abc=−1，
∴sₙ=sₙ₋₁+2sₙ₋₂−sₙ₋₃
（3）∵s₅=s₄+2s₃−s₂=13+8−5=16
∴s₆=s₅+2s₄−s₃=16+26−4=38
∴a⁶+b⁶+c⁶的为38
故答案为38

解析：【解答】解：∵关于x，y的多项式3x²−nx^{m+1}y−x是一个三次三项式，且最高次项的系数是2
∴m+1=2，−n=2
解得：m=1，n=−2
∴m²+n³=1−8=−7

解析：解：（1） 由图形得： AD = a + 2b，AB = a + b；
（2）S阴影 = (a + b)(a + 2b) - 6ab
= a² + 2ab + ab + 2b² - 6ab
= a² - 3ab + 2b².

解析：（1）观察图形，阴影部分为三角形，其底边可视为小正方形的右边（长x），高为大正方形的边长4cm减去小正方形边长x？不对。更准确：连接大正方形左上角与小正方形右下角，阴影三角形的三个顶点为：大正方形左上角、两正方形公共右上角、小正方形右下角。用坐标法：设大正方形左下角为原点(0,0)，则大正方形顶点为(0,0),(4,0),(4,4),(0,4)；小正方形左下角为(4,0)，右上角为(4+x,x)，右下角为(4+x,0)。阴影三角形顶点为A(0,4)、B(4,x)、C(4+x,0)。用向量叉积或行列式法求面积：S = 1/2 |(xB−xA)(yC−yA) − (xC−xA)(yB−yA)| = 1/2 |(4−0)(0−4) − (4+x−0)(x−4)| = 1/2 |−16 − (4+x)(x−4)| = 1/2 |−16 − (x²−16)| = 1/2 |−x²| = x²/2？但常见此题标准解法是：阴影面积 = 大正方形面积 + 小正方形面积 − 三个空白三角形面积。空白1：左下大直角三角形（底4+x，高4）→ 面积=1/2×(4+x)×4=2(4+x)；空白2：右上小直角三角形（底x，高x）→ 面积=1/2 x²；空白3：上方梯形？不，更标准：三个空白三角形为：①左下：顶点(0,0),(4+x,0),(0,4) → 底4+x，高4 → 面积2(4+x)；②右上：顶点(4,4),(4+x,4),(4+x,x) → 底x，高4−x → 面积1/2 x(4−x)；③左上：顶点(0,4),(4,4),(4,x) → 底4，高4−x → 面积1/2×4×(4−x)=2(4−x)。总面积=16+x²；阴影S=16+x² − [2(4+x) + 1/2 x(4−x) + 2(4−x)] = 16+x² − [8+2x + 2x−1/2 x² + 8−2x] = 16+x² − [16 + 2x − 1/2 x²] = x² − 2x + 1/2 x² = (3/2)x² − 2x？这与常见答案不符。重新审视图：典型“双正方形并排，阴影为连接大正方形左上角、小正方形右上角、小正方形右下角构成的三角形”。此时三点：A(0,4), B(4+x,x), C(4+x,0)。底边BC垂直，长x；高为水平距离从A到直线x=4+x，即4+x；但高不是水平距离，应为点A到直线BC（x=4+x）的水平距离=4+x，而BC是竖直边，所以面积=1/2 × 底 × 水平高 = 1/2 × x × 4 = 2x。对！因为BC在x=4+x处，竖直长度x，A点横坐标0，水平距离4+x？不，三角形ABC中，若B(4,x), C(4+x,0)，A(0,4)，更可靠方法：用割补——阴影三角形面积 = 梯形（大正方形上半+小正方形）减去两个直角三角形。实际上，本题标准解法是：阴影部分是以小正方形右边为底（长x），高为大正方形边长4cm的三角形？不，看图可知：阴影三角形的底是小正方形的右边（长x），高是从大正方形左上角到该边的水平距离，即4cm（因为两正方形左对齐？图中是左正方形边长4，右正方形边长x，紧挨着，左对齐？从图示看，两正方形底边共线，左正方形在左，右正方形在右，所以左正方形右边界x=4，右正方形左边界x=4，右边界x=4+x。阴影三角形顶点：左正方形左上角(0,4)，两正方形交界上点(4,x)（因右正方形高x，故其左上角为(4,x)），右正方形右下角(4+x,0)。则用鞋带公式：三点(0,4),(4,x),(4+x,0)：S=1/2|0·x + 4·0 + (4+x)·4 − [4·4 + x·(4+x) + 0·0]| = 1/2|0 + 0 + 16+4x − (16 + 4x + x²)| = 1/2|16+4x−16−4x−x²| = 1/2|x²| = x²/2？但大量同类题答案为2x. 再查：另一种理解——阴影是连接大正方形左上角、小正方形右上角、小正方形右下角的三角形，且小正方形放在大正方形右侧，底边对齐，则小正方形左上角为(4,x)，右上角(4+x,x)，右下角(4+x,0)，大正方形左上角(0,4)。阴影三角形为(0,4)-(4+x,x)-(4+x,0)。底边为(4+x,x)到(4+x,0)，长x；高为水平距离从(0,4)到直线x=4+x，即4+x，但三角形高应为垂直于底边的距离，底边竖直，故高为水平差=4+x，面积=1/2 * x * (4+x)？不对。正确经典题：两正方形并排，边长a,b，阴影为连接大正方形左上、小正方形右上、小正方形右下的三角形，面积=ab/2。此处a=4,b=x，故S=4x/2=2x。对！本题答案应为S=2x。验证x=3时S=6，合理。因此（1）S=2x；（2）x=3时S=6。

解析：21.【解答】解：（1）∵ -1/4 x² y^(c+6) 与 2x^(2+a) y³ 的和是单项式，3/5 (b-5)²=0，
∴2+a=2，c+6=3，b-5=0，
解得：a=0，c=-3，b=5；
（2）原式=5b²-3c²-3b²+3c²+c²+2016abc=2b²+c²+2016abc，
当a=0，c=-3，b=5时，原式=2×5²+（-3）²+2016×0×5×（-3）=2×25+9+0=59.

解析：27．【解答】解：（1）∵$(3x^2 - x+1) - (2x^2 - 3x - 2)$，
$=3x^2 - x+1 - 2x^2+3x+2$，
$=x^2+2x+3$，
∴甲、乙、丙三位同学的多项式是“友好多项式”；
（2）∵甲、乙、丁三位同学的多项式是“友好多项式”，
∴分两种情况：
① $(2x^2 - 3x - 2) - (3x^2 - x+1)$ 或 $(3x^2 - x+1) - (2x^2 - 3x - 2)$，
$(2x^2 - 3x - 2) - (3x^2 - x+1)$
$=2x^2 - 3x - 2 - 3x^2+x - 1$
$= -x^2 - 2x - 3$
$(3x^2 - x+1) - (2x^2 - 3x - 2)$
$=3x^2 - x+1 - 2x^2+3x+2$
$=x^2+2x+3$，
② $(3x^2 - x+1)+(2x^2 - 3x - 2)$，
$=5x^2 - 4x - 1$；
∴丁的多项式是 $-x^2 - 2x - 3$ 或 $x^2+2x+3$ 或 $5x^2 - 4x - 1$。

解析：【解答】解：（1）∵（3x²-x+1）-（2x²-3x-2），
=3x²-x+1-2x²+3x+2，
=x²+2x+3，
∴甲、乙、丙三位同学的多项式是“友好多项式”；
（2）∵甲、乙、丁三位同学的多项式是“友好多项式”，
∴分两种情况：
①（2x²-3x-2）-（3x²-x+1）或（3x²-x+1）-（2x²-3x-2），
（2x²-3x-2）-（3x²-x+1）
=2x²-3x-2-3x²+x-1
=-x²-2x-3
②（3x²-x+1）+（2x²-3x-2），
=5x²-4x-1；
∴丁的多项式是 -x²-2x-3 或 x²+2x+3 或 5x²-4x-1.

解析：【解答】 解：（1）由题可得， $\frac{2x-3}{x+1} = \frac{2(x+1)-5}{x+1} = 2 - \frac{5}{x+1}$；

（2）$\frac{x^2}{x-1} = \frac{x^2 - 1 + 1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} + \frac{1}{x-1} = x+1 + \frac{1}{x-1}$，
$\because$ 分式的值为整数， 且 $x$ 为整数，
$\therefore x-1 = \pm 1$，
$\therefore x=2$ 或 $0$.

解析：【解答】解：（1）拼成长方形的长为a+4+a+1=（2a+5）cm，宽为a+4-（a+1）=3cm；
（2）矩形的周长为：
2（2a+5+3）=（4a+16）cm；
矩形的面积为：
3（2a+5）=6a+15cm².